LAS POTENCIAS COMPLEJAS EN LA ZETA DE RIEMANN:
Para entender en qué consiste elevar un número real a un número
complejo, hay que tener en cuenta que un número complejo s
puede escribirse de la forma s = a + ib, con i
2= –1 y a y b números
reales, y que ex puede escribirse como una serie con infi nitos términos,
una suma de potencias de x sucesivamente mayores multiplicadas
por coefi cientes, de modo que si en ese desarrollo de ex se sustituye
x por ix, se tendrá una serie igual a la que resulta cuando se suma la
correspondiente a la función trigonométrica coseno de x (en radianes)
y la correspondiente al seno de x, ésta con cada uno de sus términos
multiplicado por i. Por otra parte, cualquier número real, llamémosle q, es igual, por la defi nición misma de logaritmo natural, a e elevado
al logaritmo natural de q. Para elevar una potencia a otra se multiplican los exponentes, y la suma de dos exponentes equivale al producto
de las correspondientes potencias. En consecuencia: q elevado al
número complejo s, es el número complejo qaeiblnq. La parte real es
qacos(blnq); la imaginaria —la multiplicada por i—, qasen(blnq).
La función zeta de Riemann es una función de términos de esa forma, en los que q va valiendo 1, 1/2, 1/3..., y a vale más de uno (aunque
puede extenderse a todo número complejo, salvo s = 1).
Un número complejo puede escribirse también como el producto
de un número real (el módulo) por e elevado a i por un ángulo o
“argumento”. El módulo será la raíz cuadrada de sumar el cuadrado
de la parte real (que en el caso de la función de Riemann será a su
vez la suma de las partes reales de todos los términos de la serie) al
cuadrado de la parte imaginaria (la suma de las partes imaginarias
de todos los términos). El argumento es cualquiera de los ángulos en
radianes cuya tangente sea igual al cociente de la parte imaginaria y
la real (se sigue de interpretar las partes real e imaginaria del número
complejo como las componentes horizontal y vertical de un vector).
El resultado no puede representarse en coordenadas cartesianas de
manera directa; harían falta cuatro ejes perpendiculares. Una forma
de conseguir una representación en el plano es por medio de colores.
En el eje horizontal se representa la componente real de s y en el
vertical la imaginaria. El tono del color da el argumento de la función
de Riemann para s, y la intensidad del color, el módulo, de suerte que,
cuanto más intenso sea, menor será el módulo.
La codifi cación que en concreto se ha empleado aquí se ve arriba a
la derecha. El color rojo indica argumentos casi nulos (los colores van
cambiando con el ángulo de giro —el argumento— desde la horizontal, y las intensidades radialmente).
Con este código, la función de Riemann, para una región del plano
complejo centrada en el origen y una vez extendida analíticamente
—la construcción única que le da valores fi nitos en todo el plano
menos en s = 1—, queda como se ve aquí a la derecha.







ZŁOŻONE WŁAŚCIWOŚCI W RIEMANN ZET:
Aby zrozumieć, co to znaczy podnieść liczbę rzeczywistą do liczby
zespolona, należy wziąć pod uwagę, że liczba zespolona s
można zapisać w postaci s = a + ib, gdzie i
2= –1 oraz liczby a i b
rzeczywisty i że ex można zapisać jako szereg o nieskończenie wielu wyrazach,
suma kolejno większych potęg x pomnożona
przez współczynniki, tak że jeśli w tym rozwinięciu ex podstawimy
x przez ix, będziemy mieli szereg równy temu, który powstaje, gdy
odpowiadający funkcji trygonometrycznej cosinus x (w radianach)
i ten odpowiadający sinusowi x, to z każdym z jego warunków
pomnożona przez I. Z drugiej strony każda liczba rzeczywista, nazwijmy ją q, jest równa, z samej definicji logarytmu naturalnego, e podniesionemu
do logarytmu naturalnego q. Aby podnieść jedną potęgę do drugiej, pomnóż wykładniki, a suma dwóch wykładników będzie równa iloczynowi
odpowiednich uprawnień. W konsekwencji: q podniesione do
liczba zespolona s, to liczba zespolona qaeiblnq. Prawdziwa część jest
qacos(białyq); wyimaginowany — ten pomnożony przez i —, qasen(blnq).
Funkcja zeta Riemanna jest funkcją wyrazów tej postaci, w której q jest warte 1, 1/2, 1/3..., a a jest więcej niż jeden (chociaż
można rozszerzyć na dowolną liczbę zespoloną, z wyjątkiem s = 1).
Liczbę zespoloną można również zapisać jako iloczyn
liczby rzeczywistej (modułu) razy e podniesionej do i o kąt lub
"argument". Moduł będzie pierwiastkiem kwadratowym z dodania kwadratu
części rzeczywistej (która w przypadku funkcji Riemanna będzie równa jej
razy suma części rzeczywistych wszystkich wyrazów szeregu) do
kwadrat części urojonej (suma części urojonych
wszystkich warunków). Argumentem jest dowolny kąt w
radiany, których tangens jest równy ilorazowi części urojonej i
rzeczywisty (wynika z interpretacji rzeczywistej i urojonej części liczby
złożony jak składowe poziome i pionowe wektora).
Wynik nie może być przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich
bezpośredni sposób; wymagane byłyby cztery prostopadłe osie. Formularz
uzyskanie reprezentacji na płaszczyźnie odbywa się za pomocą kolorów.
Oś pozioma reprezentuje rzeczywistą składową s i
pionowo wyimaginowany. Odcień koloru daje argument funkcji
Riemanna dla s, a intensywność koloru, moduł, tak że
im bardziej intensywny, tym mniejszy moduł.
Kodowanie, które zostało tutaj specjalnie użyte, widać powyżej
prawo. Kolor czerwony oznacza prawie zero argumentów (zakres kolorów od
zmieniające się wraz z kątem skrętu - argument - od poziomu, a intensywności promieniowo).
Z tym kodem funkcja Riemanna dla obszaru płaszczyzny
kompleks wyśrodkowany na początku i raz analitycznie rozszerzony
—unikalna konstrukcja, która daje skończone wartości w całej płaszczyźnie
minus w s = 1—, jak widać tutaj po prawej stronie.